(Lecture 10) Fractional difference operators

Lecture 10: Fractional difference operators. Single variable autoregressive fractionally integrated moving average (ARFIMA) & multi-variate ARFIMA models. Applications to physiological processes, brain activity mining, and brain-machine interfaces

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강의 개요

이 강의에서는 Fractional Calculus (FC)의 개념과 Fractional Difference Operators를 탐구하며,

ARFIMA (Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average) 모델의 수학적 배경과 응용을 다룬다.

주요 응용 사례로는 생리학적 데이터, 뇌 활동 분석, 그리고 Brain-Machine Interface (BMI)가 포함된다.

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1. Fractional Calculus (FC)

• Fractional Calculus 정의
  Fractional Calculus는 비정수 차수의 적분 및 미분 연산을 다루며, 물리적 및 생물학적 시스템의 메모리와 장기 의존성을 모델링한다.
• Fractional Order Differential Operator
  $
  D^q f(t) = \frac{1}{\Gamma(-q)} \int_0^t (t-\tau)^{-q-1} f(\tau) d\tau
  $
  여기서 $q$는 미분의 차수, $\Gamma$는 감마 함수이다.
• 장점
  • 비평탄적, 비미분 가능한 현상을 모델링할 수 있다.
  • 시스템의 메모리 효과를 정량화한다.

출처: M.C. González, C.A. Hidalgo & A.-L. Barabási, Understanding individual human mobility patterns, Nature 453, 779-782(5 June 2008)

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2. Fractional Difference Operators

• 정의
  Fractional Difference Operator는 Fractional Calculus를 차분 연산에 확장한 개념이다:
  $
  \Delta^d x_t = \sum_{k=0}^\infty \binom{d}{k} (-1)^k x_{t-k}
  $
  여기서 $d$는 차수, $\binom{d}{k}$는 이항 계수이다.
• 응용
  • 데이터의 장기 메모리와 의존성을 반영하여 예측 정확도를 개선한다.
  • 기존 ARIMA 모델의 한계를 극복.

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3. ARFIMA 모델

• ARFIMA 모델 정의
  ARFIMA($p, d, q$)는 Fractional Difference Operators를 포함하는 확장된 ARIMA 모델이다:
  $
  \Phi(B)(1-B)^d x_t = \Theta(B)\epsilon_t
  $
  • $\Phi(B)$: AR 다항식.
  • $(1-B)^d$: Fractional Difference Operator.
  • $\Theta(B)$: MA 다항식.
  • $\epsilon_t$: 백색 잡음.
• 장점
  • 장기 메모리를 가진 시계열 데이터에 적합.
  • 자율 시스템 및 복잡한 네트워크 모델링에 효과적.

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4. Fractional Calculus의 수학적 성질

• 스케일 불변성
  Fractional Calculus는 다음 관계를 만족한다:
  $
  D^q \left[c \cdot f(t)\right] = c \cdot D^q f(t)
  $
  • 이는 스케일 불변성을 갖는 동적 시스템을 설명하는 데 유용하다.
• Mittag-Leffler 함수
  Fractional Differential Equation의 일반 해는 Mittag-Leffler 함수로 표현된다:
  $
  E_\alpha(t) = \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{\Gamma(\alpha k + 1)}
  $

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5. ARFIMA의 실제 응용

• 생리학적 신호 분석
  • 심박수 데이터에서 장기 메모리 효과를 탐지.
  • 생리적 이상 상태를 조기에 발견.
• 뇌 활동 분석
  • EEG 신호의 스펙트럼 분석을 통해 신경 활동의 자기유사성을 파악.
  • 알츠하이머 환자와 정상인의 뇌 네트워크를 비교.
• Brain-Machine Interface (BMI)
  • 신체-뇌 간 상호작용을 정량화하여 BMI의 효율성을 개선.

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6. Fractional Difference Operators와 Hurst 지수

• Hurst 지수
  Hurst 지수는 데이터의 장기 메모리를 측정한다:
  $
  H = \frac{1}{2} + d
  $
  여기서 $d$는 Fractional Difference Operator의 차수이다.
• Hurst 지수 계산법
  • R/S 분석.
  • Detrended Fluctuation Analysis (DFA).
  • Diffusion Entropy (DE).

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결론

Fractional Calculus와 ARFIMA 모델은 복잡한 시계열 데이터와 장기 메모리를 가진 동적 시스템을 이해하고 분석하는 데 강력한 도구를 제공한다.

다양한 응용 사례에서 Fractional Difference Operators와 ARFIMA는 기존 모델보다 높은 성능을 입증했다.