(Lecture 3) Multifractals and Graph Higher-Order Statistics

Multifractals와 Multifractal Analysis

 

개요

이 강의에서는 Multifractal 이론과 그래프의 고차 통계 분석을 다룹니다. 주요 내용은 다음과 같습니다:

    1. Multifractal의 정의와 특성

    2. Hierarchical Resistor Network (HRN) 모델

    3. Mass Exponent와 Generalized Fractal Dimension

    4. Lipschitz-Hölder Exponent와 Multifractal Spectrum

    5. Multifractal Detrended Fluctuation Analysis (MFDFA)

    6. 복잡한 네트워크에서의 Multifractal 분석

 

 

1. Multifractal의 개념

• Mono-fractals vs. Multi-fractals

    • Mono-fractals: 단일 프랙탈 지수로 설명됨.

    • Multi-fractals: 다양한 프랙탈 지수를 가지며, 더 복잡한 구조를 나타냄.

    • 예시: 주식 시장, 난류, 생물학적 시스템, 지질학.

• Multifractal의 정의

    • 공간 $D \subseteq R^n$ 상에서, 크기 $\mu$는 반경 $r$에 따라 다음과 같이 스케일링됨:

$\mu_r(x) \propto r^{\alpha_x}, \quad r \to 0$

    • $\alpha_x$: 각 위치에서의 지역 스케일링 지수.

• Multifractal Spectrum

    • $\alpha_x$의 분포를 $f(\alpha)$로 정의:

$f(\alpha) = \alpha q - \tau(q)$

여기서 $\tau(q)$는 Mass Exponent.

 

출처: (좌)https://www.nature.com/articles/s41586-024-07287-2 , (중) https://sohl-dickstein.github.io/2024/02/12/fractal.html, (우) https://antenna-theory.com/antennas/fractal.php

2. Hierarchical Resistor Network (HRN) 모델

• 모델 구성

    • 기본 저항 네트워크를 기반으로 반복적인 self-similar 구조 생성.

    • 특정 세대에서의 전압 강하 분포와 통계적 모멘트 분석.

• 수식

    • 전압 강하 $V_k$와 결합 수 $N(V_k)$:

$V_k = \frac{2^k}{5^n}, \quad N(V_k) = \binom{n}{k} 2^n$

    • 통계적 모멘트는 다음과 같은 스케일링 법칙을 따름:

$V_q \propto L^{\xi}, \quad \xi = \frac{\log \left( 2^{n} (1+2^q) \right)}{\log 5}$

 

3. Mass Exponent와 Generalized Fractal Dimension

• Mass Exponent $\tau(q)$

$\tau(q) = \lim_{l \to 0} \frac{\log \mu_b(l)^q}{\log l}$

여기서 $\mu_b(l)$은 Box Counting Measure.

 

 

• Generalized Fractal Dimension

    • $\tau(q)$와의 관계로 정의됨:

$D_q = \frac{\tau(q)}{q-1}$

 

4. Lipschitz-Hölder Exponent와 Multifractal Spectrum

• Lipschitz-Hölder Exponent $\alpha(q)$

$\alpha(q) = \frac{d \tau(q)}{dq}$

• Multifractal Spectrum $f(\alpha)$

$f(\alpha) = q \alpha - \tau(q)$

    • $\alpha(q)$와 $f(\alpha)$는 Multifractal의 구조적 다양성을 나타냄.

 

5. Multifractal Detrended Fluctuation Analysis (MFDFA)

    1. 시간 시퀀스를 박스 크기 $l$로 나누고 로컬 트렌드 제거.

    2. $q$차 플럭추에이션 함수 계산:

$F_q(l) = \left[ \frac{1}{2 N L} \sum_{v=1}^{2N} F_2(v, l)^q \right]^{\frac{1}{q}}$

    3. $\log F_q(l)$과 $\log l$의 기울기를 통해 $\tau(q)$ 도출:

$\tau(q) = \log F_q(l) / \log l$

6. 복잡 네트워크에서의 Multifractal 분석

• 네트워크 상자 분할

    • 박스 크기 $l$로 네트워크를 분할하고, 각 박스의 확률 측정 $\mu(B_i)$를 정의.

    • Mass Exponent와 Generalized Fractal Dimension 추정:

$\tau(q) = D_q (1 - q)$

• Legendre 변환

$f(\alpha) = q \alpha - \tau(q)$, $\quad \alpha = \frac{d \tau(q)}{dq}$

 

주요 특징

• Multifractal은 단순한 Mono-fractal 모델보다 복잡한 데이터의 스케일링 특성을 잘 설명.

• 다양한 실험적 데이터 (뇌 네트워크, 금융 데이터 등)에서 Multi-fractal 특성을 확인.

• MFDFA는 Multifractal 특성을 정량화하는 강력한 도구로 활용 가능.

 

강의에서 소개된 이론과 모델은 복잡한 시스템에서의 패턴 분석 및 데이터 모델링에 중요한 기반을 제공.

 

출처: Lecture 3 Slide